Polygones fondamentaux d'une courbe modulaire

Karim Belabas (1) , Dominique Bernardi (2) , Bernadette Perrin-Riou (3)

1 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
2 IMJ-PRG (UMR_7586) - Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche
3 Département de Mathématiques-Université de Paris XI

A few pages in Siegel describe how, starting with a fundamental polygon for a compact Riemann surface, one can construct a symplectic basis of its homology. This note retells that construction, specializing to the case where the surface is associated to a congruence subgroup Γ of SL 2 (Z). One then obtains by classical procedures a generating system for Γ with a minimal number of hyperbolic elements and a presentation of the Z[Γ]-module Z[P 1 (Q)] 0 .

Quelques pages de Siegel décrivent la construction d'une base symplectique de l'homologie d'une surface de Riemann compacte à partir d'un polygone fondamental. Cette note reprend cette construction en l'appliquant au cas de la surface de Riemann associée à un sous-groupe de congruence $\Gamma$ de $SL_2(\ZZ)$. On en déduit par des procédés classiques un système de générateurs indépendants de $\Gamma$ ayant un nombre minimal d'éléments hyperboliques et une présentation du $\ZZ[\Gamma]$-module $\ZZ[\PP^1(\QQ)]_0$.

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Karim Belabas, Dominique Bernardi, Bernadette Perrin-Riou. Polygones fondamentaux d'une courbe modulaire. 2018. ⟨hal-01828430v1⟩